Nama : Yulfa Idarsih
kelas : PGSD A
MAKALAH
PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN
Untuk memenuhi syarat
Kuliah Konsep Dasar Matematika
Dosen
Pengampu : Dicky Prastya, M.Pd
Yulfa
Idarsih NPM 141350009
Prodi : PGSD
Semester : III (Tiga)
Kelas : A
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN
DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
METRO 2015
KATA
PENGANTAR
Puji
syukur kami panjatkan atas kehadirat Allah Swt karena dengan limpahan
rahmat,karunia, serta taufik dan hidaya-Nya lah sehingga kami mampu
menyelesaikan makalah yang berjudul “Persamaan dan Pertidaksamaan”. Dan kami
berterima kasih kepada Bapak/Ibu selaku
dosen mata kuliah Matematika Dasar yang telah memberikan tugas ini.
Persamaan dan
pertidaksamaan merupakan salah satu bagian yang tidak dapat dipisahkan dalam
matematika. Karena sangat berhubungan dengan bilangan. Kami sangat berharap
makalah ini dapat berguna bagi pembacanya dalam rangka menambah wawasan serta
pengetahuan serta menjadi bekal dasar bagi siswa-siswi sekolah dasar. Kami juga
menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan jauh dari nilai kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan
kritik dan saran yang sifatnya membangun guna perbaikan di masa yang akan
datang. Mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.
Semoga
makalah sederhana ini dapat berguna bagi siapapun yang membacanya. Sebelumnya
kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata dan penulisan yang kurang
berkenan.
Lampung Timur, 15 November 2015
Tim Penyusun
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL............................................................................................ i
KATA PENGANTAR..................................................................................... ii
DAFTAR ISI..................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang........................................................................................ 1
B. Rumusan
Masalah................................................................................... 1
C. Tujuan..................................................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN
1. Definisi
Persamaan dan Pertidaksamaan................................................ 2
a. Persamaan......................................................................................... 2
b. Pertidaksamaan................................................................................. 2
2. Jenis-Jenis
Persamaan dan Pertidaksamaan............................................ 3
1) Persamaan......................................................................................... 3
a) Persamaan
Linier Satu Peubah atau Variabel.............................. 3
b) Persamaan
Linier Dua Peubah atau Variabel.............................. 4
c) Persamaan
Kuadrat..................................................................... 8
2) Pertidaksamaan................................................................................. 11
a) Pertidaksamaan
Linier Satu Peubah atau Variabel..................... 11
b) Pertidaksamaan
Kuadrat............................................................. 13
BAB
III PENUTUP
A. Kesimpulan......................................................................................... 15
B. Saran................................................................................................... 15
DAFTAR
PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu
pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari – hari. Manusia dalam
melakukan kegiatan sehari – hari tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika.
Akan tetapi kebanyakan orang tidak menyadari bahwa apa yang dilakukannya
tersebut merupakan bagian dari matematika. Kegiatan – kegiatan seperti
menghitung bilangan, menjumlahkan dan lain sebagainya merupakan bagian dari
cabang ilmu matematika yang paling dasar.
Materi matematika Sekolah Dasar yang cukup sulit
dipelajari siswa siswi salah satunya adalah Persamaan dan Pertidaksamaan. Akan
penulis jelaskan lebih rinci pembahasan mengenai persamaan dan pertidaksamaan
dalam matematika dasar.
B.
Rumusan
Masalah
a)
Apa pengertian persamaan dan
pertidaksamaan?
b)
Apa saja jenis-jenis persamaan dan
pertidaksamaan?
c)
Bagaimana ciri-ciri dari berbagai jenis persamaan dan
pertidaksamaan?
d)
Bagaimana contoh soal dari tiap jenis
persamaan dan pertidaksamaan?
e)
Bagaimana langkah-langkah menyelesaikan
soal dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan?
C.
Tujuan
a)
Untuk mengetahui pengertian dari
persamaan dan pertidaksamaan.
b)
Untuk mengetahui berbagai jenis dari
persamaan dan pertidaksamaan.
c)
Untuk mengetahui ciri dari berbagai
jenis persamaan dan pertidaksamaan.
d)
Untuk mengetahui bentuk soal persamaan
dan pertidaksamaan.
BAB II
PEMBAHASAN
1.
Definisi
Persamaan dan Pertidaksamaan
a.
Persamaan
Persamaan atau identitas adalah suatu pernyataan
yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “=” tetapi tidak memuat
variabel. Dalam artian, Persamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang
memuat tanda “=”. Kalimat matematika terbuka adalah suatu pernyataan yang
memuat variable (peubah) yang nilainya belum jelas atau belum bisa ditentukan.
Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu bilangan sehingga
persamaan tersebut menjadi nilai atau proporsi yang tepat. Jika bilangan
tersebut menghasilkan proporsi yang benar maka himpunan penyelesaian diperoleh.
Contoh : Jika x+3=10 maka himpunan penyelesaian
selesai dengan hasil x={7}.
b.
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan
relasi. 
Seperti halnya persamaan, menyelesaikan
pertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatu bilangan sehingga
pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi yang benar. Bilangan yang diperoleh
nantinya merupakan nilai penyelesaiian untuk suatu pertidaksamaan yang dicari.
Himpunan semua nilai pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian (himpunan
terselesaikan).
Seperti halnya persamaan, menyelesaikan
pertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatu bilangan sehingga
pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi yang benar. Bilangan yang diperoleh
nantinya merupakan nilai penyelesaiian untuk suatu pertidaksamaan yang dicari.
Himpunan semua nilai pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian (himpunan
terselesaikan).
Contoh :x-6 
3 (mengandung sebuah relasi 
3 (mengandung sebuah relasi
2.
Jenis-jenis
Persamaan dan Pertidaksamaan
1)
Persamaan
Persamaan dibagi beberapa jenis
diantaranya :
a)
Persamaan
linier satu variabel (peubah)
·
Definisi
persamaan linier satu peubah
Persamaan
linier satu peubah adalah persamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat
dari peubahnya adalah satu.
Contoh:2x + 7 = 6x + 3 merupakan persamaan linier
satu peubah karena peubahnya satu (yaitu
x) dan pangkatnya adalah 1.
·
Penyelesaian
Suatu Persamaan linier satu peubah
Menyelesaikan suatu persamaan artinya adalah mencari
nilai pengganti dari peubah sehingga menjadi pernyataan yang benar.
Contoh:
5t
- 6 = - 11, adalah persamaan linier satu peubah.
t
= - 1 merupakan penyelesaian
persamaan itu karena
jika t diganti dengan –1, maka pernyataan 5(- 1) - 6 = - 11 merupakan pernyataan yang benar. Sedangkan t
= 1bukan penyelesaian karena jika t
diganti dengan 1, maka pernyataan
5(1) - 6 = - 11 merupakan pernyataan
yang salah.
·
Cara
mencari penyelesaian persamaan linier satu peubah
Tiga
langkah berikut dapat dilakukan dalam menyelesaikan persamaan linier dengan
satu peubah:
1. Menambah
kedua ruas dengan bilangan yang sama.
2. Mengurangi
kedua ruas dengan bilangan yang sama.
3. Membagi atau
mengalikan kedua ruas
dengan bilangan yang
sama yang bukan nol.
ContohSoal :
Tentukan
penyelesaian dari persamaan 2x - 3 = - 3x + 7 dan tentukan himpunan
penyelesaiannya!
Penyelesaian:
2x
- 3 = - 3x + 7
3x
+ 2 x - 3 = 3x + (- 3x ) + 7… (kedua
ruas ditambah dengan 3x )
5x
- 3 = 7
5x
- 3 + 3 = 7 + 3 ...................
(kedua ruas ditambah 3)
5x
= 10
x=2
............................
(kedua ruas dibagi dengan 5 )
Maka,
himpunan penyelesaiannya adalah: { 2}.
b)
Persamaan
linier dua variabel (peubah)
Persamaan Linear dua peubah yaitu suatu sistem
persamaan yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung
dua peubah atau variabel dan pangkat kedua peubah itu adalah satu.
Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah artinya adalah mencari nilai
pengganti dari setiap peubah nilai yang dimaksud, maka persamaan itu berubah
menjadi kalimat yang bernilai benar.
Secara umum dinyatakan dalam bentuk :
aX
+ bY = c
dX + eY = f dengan a,b,c,d,e,f adalah bilangan real
dX + eY = f dengan a,b,c,d,e,f adalah bilangan real
keterangan :
a,d = koefisien dari x
b,e = koefisien dari y
c,f = konstanta
x dan y = nilai penyelesaian dari
system persamaan linier dua variabel
Dalam menyelesaikan persamaan linier dua variabel,
dapat diselesaikan dengan beberapa metode diantaranya :
a.
Metode
Substitusi
Mensubstitusi artinya adalah menggantikan. Cara
substitusi dilakukan dengan cara
mencari nilai salah
satu peubah pada
suatu persamaan kemudian
menggantikan nilai itu
pada persamaan yang
lain. Cara ini lebih efisien jika dilakukan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier yang peubahnya ada yang
berkoefisien 1.
b.
Metode
Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan. Cara eliminasi
dilakukan dengan cara ”menghilangkan” salah satu peubah. Dengan demikian,
persamaan yang semula terdiri dari dua peubah akhirnya menjadi satu peubah.
Selanjutnya dapat ditentukan penyelesaiannya.
c.
Metode
Substitusi dan Eliminasi
Metode penyelesaian ini menggunakan metode eliminasi
dan substitusi untuk menyelesaikan persamaan linier 2 variabel.
d.
Metode
Grafik
Contoh
soal :
·
Metode
Substitusi
Tentukan himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan linear berikut:
3x + 2y = -2
3x + 2y = -2
x – 2y = 10 .
Penyelesaian :
x – 2y = 10
<<=>> x = 2y + 10
3x + 2y = -2
Subsitusikan persamaan (1) ke (2)
3x + 2y = -2
3( 2y + 10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = - 2
8y = -32
y = - 4
Subsitusikan nilai y = -4 ke
persamaan (1)
x = 2y + 10
x = 2(-4) + 10
x = -8 + 10
x = 2
maka HP dari persamaan diatas
adalah (x,y) = ( 2, -4 ).
·
Metode
Eliminasi
Jika 2x + 5y = 11 dan
4x – 3y = -17,
tentukanlah nilai dari 2x – y
= . . . .
Penyelesaian:
Eliminasi x
2x + 5y =
11 |X 2| 4x + 10y = 22
4x
- 3y = -17 |X 1| 4x – 3y
= -17
13y = 39
y = 39 / 13
y = 3
Eliminasi y
2x +
5y = 11 |X 3| 6x + 15y = 33
4x -
3y = -17 |X 5| 20x - 15y = -85
___________+
26x = -52
x = -52
/26
x = -2
setelah nilai
variabel ditemukan subtitusilah ke pers yang ditanya:
Nilai : 2x – y =
..
2(-2) – 3 = - 7
·
Metode
Substitusi Eliminasi
Tentukan
himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
2x+3y=1
3x+y = 5
Penyelesaian :
2x + 3y = 1 [x3]
6x + 9y = 3
3x + y =
5 [x2]
6x + 2y = 10
7y = -7
y = -7/7
y = -1
kesalahan satu
persamaan (cari yang paling tepat atau sederhana)
3x + y = 5
3x - 1 = 5
3x = 5 + 1
x = 6/3
x = 2
maka, Hpnya adalah
(x,y) = (-1,2)
·
Metode
grafik
Tentukan
peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan grafik
2x
+ 3y = 6
x
+ y = 2
Jawab
:
membuat
garis persamaan pertama dengan cara mencari titik potong terhadap sumbu X dan
sumbu Y
Titik
potong sumbu x syaratnya y
=0
Titik potong sumbu Y syaratnya x = 0
2x
+ 3y =
6
2x + 3y = 6
2x
+ 3.0=
6
2.0 + 3y = 6
2x
=
6
3y = 6
x
= 3
y = 2
 |
c)
Persamaan
Kuadrat
Persamaan
kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama
dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat
memiliki bentuk umum:
 |
Dengan a, b, dan c Є R dan a ≠ 0.
a = koefisien x2
b = koefisien x
c = konstanta
Contoh :
Tentukan setiap koefisien variabel x2, koefisien
variabel x dan konstanta dari persamaan kuadrat berikut:
a. 3x2
– 2x + 4 = 0
b. –x2
+ 5x – 7 = 0
Jawab:
a.
3x2 – 2x + 4 = 0
koefisien x2 = 3
koefisien x = –2
konstanta = 4
b.
–x2 + 5x – 7 = 0
koefisien x2 =
–1
koefisen x = 5
konstanta = –7
· Jenis Akar
Persamaan Kuadrat
1. Jika D > 0,
maka ax2 +bx+c=0 memiliki dua akar real
yang berlainan
2. Jika D = 0, maka ax2 +bx+c=0 memiliki dua akar real yang sama.
3. Jika D < 0, maka ax2 +bx+c=0 akar-akarnya tidak real
·
Menentukan
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Dalam menyelesaikan setiap persamaan kuadrat yang
Anda cari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi
persamaan kuadrat tersebut. Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan
dengan beberapa cara, yaitu memfaktorkan, menyempurnakan, dan dengan rumus abc.
a)
Memfaktorkan
Sifat yang digunakan dalam
menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan adalah sifat faktor
nol, yaitu:
Untuk setiap p dan q bilangan riil
dan berlaku p x q = 0 maka p = 0 atau q = 0
·
Memfaktorkan Jenis ax2 + bx = 0
Untuk memfaktorkan persamaan
kuadrat dengan bentuk ax2 + bx = 0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai
dengan sifat distributif, yaitu:
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
Jadi, x = 0 atau ax + b = 0.
Contoh Soal
Selesaikanlah persamaan kuadrat di
bawah ini:
a. x2
– 5x = 0
jawab :
x2-5x = 0
x(x-5)=0
x=0 atau x-5=0
x=5
jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {0,5}
b. 4x2
+ 3x = 0
Jawab :
x(4x + 3) = 0
x = 0 atau 4x + 3 = 0
4x = –3 atau x = − ¾
Jadi, HP adalah {-− ¾ , 0}
b)
Menggunakan
Rumus abc
Dalam melengkapkan kuadrat
sempurna, diperoleh cara mencari nilai akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c
= 0 adalah dengan menggunakan rumus :
 |
Contoh soal :
Carilah
akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan menggunakan Rumus ABC
X2
– 4X – 12 = 0
 |
2)
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
dibagi beberapa jenis :
a)
Pertidaksamaan linier satu peubah atau variabel
Pertidaksamaan
linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan
pangkat dari peubahnya adalah satu. Pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi
dari variable (peubah) adalah satu Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat
ditulis dalambentuk notasi himpunan atau dengan garis biangan.
Contoh :
1. 2n
+ 9 = 21, merupakan pertidaksamaan linier satu peubah banyak peubahnya satu
(yaitu n ) dan pangkatnya adalah 1.
2. 5t
+ 7m = 12 , bukan pertidaksamaan linier satu peubah karena peubahnya dua (yaitu t dan
m ).
3. y
+ 4 = 3y2+ 3 , bukan pertidaksamaan linier satu peubah walaupun
peubahnya hanya satu tetapi paubahnya ada yang berpangkat 2.
·
Cara
mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah
Hal-hal yang perlu diperhatikan
dalam menyelesaikan pertidaksa-maan
linier satu peubah adalah:
1.
Jika kedua ruas suatu
pertidaksamaan ditambah atau dikurangi
dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.
2.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan
dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama dan tidaknol, maka
tanda pertidaksamaan tetap.
3.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan
dikalikan atau dibagi dengan bilangannegatif yang sama dan tidak nol, maka
tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.
Contoh
soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan di bawah ini !
a. 3x – 1 >
5
b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )
Jawab
:
Jawab :
3x – 1
>5
3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )
3x > 5 +
1
3x + 4 ≤ 5 x - 5
3x
>6
3x – 5x ≤ -5 – 4
x> 6/3
-2x ≤ -9
x
>2
x ≥ 9/2
HP = { x │x > 2, x Є R
} HP = { x
│x ≥ 9/2, x Є R }
b)
Pertidaksamaan
Kuadrat
Suatu kalimat
terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat
tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.
Bentuk umum
pertidaksamaan kuadrat :
ax2 +
bx + c > 0
ax2 +
bx + c ≥ 0
ax2 +
bx + c < 0
ax2 +
bx + c ≤ 0
dengan a, b, dan
c Є R dan a ≠ 0.
·
Menyelesaikan
Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan
pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan.
Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbedacara dengan
menentukan suatu himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear. Pada
pertidaksamaan linear, dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah
memperoleh himpunan penyelesaiannya sedangkan pada pertidaksamaan kuadrat harus
menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan
penyelesaiannya.
·
Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai
berikut:
1.
Nyatakan pertidaksamaan kuadrat ke bentuk
salah satu ruas sama
dengannoldanruasyanglainadalahbentukkuadrat.
2.
Tentukanpembuatnoldaribentukkuadratitu.
3.
Letakkanpembuatnoldalamgarisbilangan.
4.
Tentukantandadarisetiapdaerahpadagarisbilangan.
5.
Tentukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada pertidak-samaan.
Contoh
Soal
Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan
kuadrat
x2 – 5x – 14 < 0
Jawab:
x2– 5x – 14 < 0
x2 – 5x – 14 = 0
(x – 7) (x + 2) = 0
x – 7 = 0 atau x + 2 = 0
x = 7 atau x = –2
 |
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Persamaan atau
identitas adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi
notasi “=” tetapi tidak memuat variabel. persamaan dibagi menjadi beberapa
jenis diantaranya persamaan linier satu variabel, dua variabel dan persamaan
kuadrat.
Pertidaksamaan
adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan
relasi. Pertidaksamaan dibagi menjadi beberapa jenis
diantaranya pertidaksamaan linier satu peubah dan pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan
linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat
sebuah peubah dan
pangkat dari peubahnya adalah satu.Pertidaksamaan kuadrat
adalah pertidaksamaan dimana pangkat dari x adalah bilangan asli
dan pangkat tertingginya adalah 2.
Pertidaksamaan dibagi menjadi beberapa jenis
diantaranya pertidaksamaan linier satu peubah dan pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan
linier satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya memuat
sebuah peubah dan
pangkat dari peubahnya adalah satu.Pertidaksamaan kuadrat
adalah pertidaksamaan dimana pangkat dari x adalah bilangan asli
dan pangkat tertingginya adalah 2.
B.
Saran
Dalam pembutan
makalah ini kami menyadari banyak
kekeliruan dan masih jauh dari kata sempurna, Oleh karena itu kami
mengharapkan dari semua pihak untuk memberikan kritik dan saran yang bersifat
membangun,untuk kelancaran pembuatan makalah selanjutnya. Namun, kami berharap
makalah kami bisa bermanfaat bagi kita semua terutama bagi pemakalah
DAFTAR
PUSTAKA
wai-wai hogo
BalasHapus🐕
BalasHapus